<T->
          Matemtica e realidade
          9 ano
            
          Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado
          
          Impresso Braille em 
          9 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          6 edio -- 2009, 
          So Paulo,  
          Editora Atual.

          Terceira Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
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          Tel.: (21) 3478-4442
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          ~,http:www.ibc.gov.br~,  
          -- 2013 --
<P>
          (C) Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado, 2009.

          ISBN 978-85-357-1069-4
  
          Gerente editorial: 
          Lauri Cericato 
          Editora: Teresa Christina W. P. de Mello Dias 
          Editora assistente: 
          Edilene Martins dos Santos 
          Licenciamento de textos: 
          Stephanie Santos Martini 
          
          Todos os direitos reservados
          Copyright desta edio: 
          Saraiva S.A. Livreiros 
          Editores, So Paulo, 2010. 
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          05413-010 -- So Paulo -- SP 
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          Fax vendas: (11) 3611-3268 
          ~,www.editorasaraiva.com.br~, 
<p>          
                               I
Sumrio

Terceira Parte

<F->
Unidade 4 -- Temas da 
  geometria
Captulo 10- 
  Semelhana ::::::::::::: 253
Semelhana ::::::::::::::: 254
Captulo 11- Semelhana 
  de tringulos ::::::::::: 260
Comparao de 
  tringulos :::::::::::::: 260
Semelhana de 
  tringulos :::::::::::::: 261
Teorema fundamental :::::: 279
Matemtica no tempo -- Os
  teoremas de Tales :::::: 286
Captulo 12- Casos de 
  semelhana :::::::::::::: 294
1 caso: {a{a (ngulo -- 
  ngulo) ::::::::::::::: 294
2 caso: {l{a{l (Lado -- 
  ngulo -- Lado) :::::: 297
3 caso: {l{l{l (Lado -- 
  Lado -- Lado) :::::::: 298
Captulo 13- Relaes 
  mtricas no tringulo 
  retngulo ::::::::::::::: 312
O tringulo retngulo :::: 312
Aplicaes notveis do 
  teorema de Pitgoras ::: 337
Matemtica no tempo -- 
  Teorema de 
  Pitgoras :::::::::::::: 359
<F+>
<93>
<T mat. realidade 9>
<t+253> 
<R+>
<F->
Unidade 4 -- Temas da geometria 

Captulos:
10- Semelhana 
11- Semelhana de tringulos 
12- Casos de semelhana 
13- Relaes mtricas no 
  tringulo retngulo 
<F+>
<R->
<94>
<104>

Captulo 10- Semelhana

Formas e tamanhos 

  Olhando para o mundo que nos rodeia, podemos encontrar facilmente objetos que tm a mesma forma. Por exemplo: as bolas usadas nos jogos de pingue-pongue, tnis, voleibol, futebol e basquetebol tm todas a mesma forma esfrica, embora os tamanhos sejam diferentes. 
  Quando olhamos para cpias de uma foto com tamanhos diferentes, 
<p>
estamos diante de figuras semelhantes. A figura maior  uma ampliao da menor. A figura menor  uma reduo da maior. 
  s vezes, encontramos objetos de formas parecidas. Ser que devemos consider-los semelhantes? 

<R+>
_`[{cinco embalagens: lata de sardinha, lata de ervilha, cola basto, lenos umedecidos e doce de leite_`]
<R->
<105>

Semelhana 

  Para a Matemtica, dois cilindros so semelhantes somente se a razo entre o dimetro das bases (de um e de outro)  igual  razo entre as alturas (de um e de outro). Veja, na ilustrao, um exemplo de cilindros semelhantes. 
<p>
<R+>
<F->
_`[{medidas de dois cilindros_`]
maior: dimetro 7 cm; altura 10 cm.
menor: dimetro 4 cm; altura 6 cm.
<F+>
<R->

6~10=4,2~7

  Observe agora as caixas da foto a seguir. Podemos dizer que elas so semelhantes? 

<R+>
_`[{fotos das seguintes caixas: gelatina, ch, bolo pronto, barras de cereal e perfume_`]
<R->

  Para a Matemtica, dois paraleleppedos so semelhantes somente se a razo entre as trs dimenses (em ordem crescente) de um e as correspondentes dimenses do outro for sempre a mesma. 
  Veja o exemplo _`[no representado_`] de paraleleppedos semelhantes. 
<p>
<R+>
<F->
_`[{medidas dos paraleleppedos_`]
maior: altura 2 cm; comprimento 6 cm; largura 8 cm.
menor: altura 1 cm; comprimento 3 cm; largura 4 cm.
<F+>
<R->

2~1=6~3=8~4

  De modo geral, dizemos que, em Matemtica: 

  Dois objetos so semelhantes somente quando a razo entre um segmento do primeiro objeto e o segmento correspondente (ou homlogo) do segundo objeto  sempre a mesma ( constante), qualquer que seja o par de segmentos correspondentes considerado. 
<106>

Exerccios

<R+>
<F->
_`[{para os exerccios 28 a 33, pea orientao ao professor_`]

28. Observe (e mea, se necessrio) as figuras _`[no repre-
<p>
  sentadas_`]. Quais delas so semelhantes: 
a) ao quadrado 7? 
b)  circunferncia 6?
c) ao retngulo 8?
d) ao tringulo 1?
e) ao tringulo 2?
f) ao tringulo 3?  

29. Copie a figura _`[no representada_`] em seu caderno. Em seguida, construa uma figura semelhante, de tamanho duas vezes maior, usando o mtodo da homotetia: 
 tome um ponto O qualquer, prximo  figura; 
 trace as semirretas :,?{o{a*, :,?{o{b*, :,?{o{c*, :,?{o{d*, :,?{o{e*; 
 coloque a ponta-seca do compasso em A, abra at O e marque A na semirreta :,?{o{a*, de modo que A seja o ponto mdio de :,?{o{a*;  
<p>
 analogamente, construa B em :,?{o{b*, C em :,?{o{c*, D em :,?{o{d* e E em :,?{o{e*; 
 ligue A, B, C, D e E. 
<F+>
<R->
<107>

<R+>
<F->
30. Copie em seu caderno a figura _`[no representada_`]. Em seguida, construa uma figura semelhante, de tamanho trs vezes maior, usando o mtodo da homotetia. 

  Nos exerccios 31 a 33, use papel quadriculado. 

31. Amplie a figura _`[no representada_`] para o dobro do seu tamanho, e em seguida, para o triplo. 
32. Construa uma rvore semelhante a esta _`[no representada_`], mas de tamanho trs vezes maior. 
<p>
33. Amplie a figura _`[no representada_`] para quatro vezes seu tamanho. 
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<p>
<108>
Captulo 11- Semelhana de 
  tringulos  

Comparao de tringulos 

  Vamos estudar com profundidade a semelhana das figuras mais simples: os tringulos. 
  Se desenharmos dois tringulos ao acaso, provavelmente obteremos tringulos no semelhantes. 
  Observe as colees de tringulos _`[no representadas_`] organizadas por formas iguais. 
<R+>
<F->
Tringulos equilteros 
Tringulos retngulos e issceles 
Tringulos issceles com ngulo de 120 
<F+>
<R->
  Nas colees anteriores, dois tringulos de cores iguais so semelhantes e dois tringulos de cores diferentes no so semelhantes. 
<p>
<R+>
_`[{um menino pergunta: "Afinal, o que precisa acontecer com os 
  ngulos e com os lados de dois tringulos para que eles sejam semelhantes?"_`]
<R->
<109>

Semelhana de tringulos 

  Observe os tringulos {a{b{c e {d{e{f, construdos de modo a terem a mesma forma. 

<F-> 
            A
            
                    
                     
                       
                       
                   
                         
     --------------u  
     B            C
<p>
               D
               
                
                 
                  
                   
                    
                     
                       
                       
                        
                         
                          
                           
                            
                             
------------------------------u
E                            F
<F+>
       
  Como eles tm a mesma forma,  possvel colocar o tringulo menor ({a{b{c) dentro do maior ({d{e{f), de maneira que seus lados fiquem respectivamente paralelos. 
<p>
<F->
               D
               
                
                 
                  
                   
                    
                     
              A       
                     
                      
                       
                        
                         
         ----------u       
         B        C        
------------------------------u
E                            F

<F->
<R+>
_`[{medidas dos tringulos em centmetros_`]
<R->
<F->
{d{e=4,3
{e{f=6,8
{f{d=6
{a{b=2,15
{b{c=3,4
{c{a=3
<F+>
<p>
  Podemos, ento, notar que dois tringulos que tm formas iguais tm necessariamente ngulos correspondentes congruentes: 
 :A==:D; :B==:E; 
  :C==:F 
  Se medirmos os lados dos dois tringulos e calcularmos as razes entre os lados correspondentes, teremos (em centmetros): 
<R+>
<F->
{a{b~{d{e=2,15~4,3=1~2
{a{c~{d{f=3~6=1~2
{b{c~{e{f=3,4~6,8=1~2 
<F+>
<R->
  Logo, as razes so todas iguais, ou seja, os lados correspondentes (homlogos) so proporcionais. 
 {a{b~{d{e={a{c~{d{f={b{c~{e{f
  Vamos, ento, estabelecer o seguinte conceito: 

  Dois tringulos so semelhantes quando tm os ngulos correspondentes congruentes e os lados homlogos proporcionais. 
<110>
<p>
  Em smbolos matemticos podemos escrever: 
<F->
$?; :> semelhante
== :> congruente
<F+>

<F->
          A      
                 
                  
      c      b      
              
                     
     ----------u    
     B   a    C
<p>
               D
               
                
                 
                  
                   
                    
                     
      f                e
                       
                        
                         
                          
                           
                            
                             
------------------------------u
E              d             F
<F+>

<R+>
<F->
{a{b{c$?;{d{e{f
  <:> :A==:D; :B==:E; 
  :C==:F e a~d=b~e=c~f
<F+>
<R->

Razo de semelhana 

  Quando dois tringulos so semelhantes, a razo entre dois 
<p>
lados correspondentes  chamada razo de semelhana: 
<R+>
 a~d=b~e=c~f=k, em que *k*  a razo de semelhana 
<R->
  Se a razo de semelhana de dois tringulos  igual a 1, ento: 
<R+>
a~d=b~e=c~f=1 e, da, a=d, b=e e c=f 
<R->
  Portanto, os tringulos so congruentes. 

Propriedades da semelhana 

<F->
          A  
                 
                  
                   
              
                     
  B ----------u C   

<p>
            X     
                   
                    
                     
                
                       
                  
                         
  Y --------------u Z

           R
                  
                   
                    
               
                      
                       
  S ------------u T
<F+>
 
Propriedade reflexiva 

  Todo tringulo  semelhante a si mesmo. 
 {a{b{c$?;{a{b{c 
<p>
Propriedade simtrica 

  Se um tringulo  semelhante a outro, ento esse outro  semelhante ao primeiro. 
<R+>
 {a{b{c$?;{x{y{z 
  :> {x{y{z$?;{a{b{c
<R->

Propriedade transitiva 

  Se um tringulo  semelhante a outro e esse outro  semelhante a um terceiro tringulo, ento o primeiro  semelhante ao terceiro. 
<R+>
 {a{b{c$?;{x{y{z e {x{y{z$?;{r{s{t 
  :> {a{b{c$?;{r{s{t
<R->
<111>

Exerccios

<R+>
<F->
_`[{para os exerccios 34 e 35, pea orientao ao professor_`]

34. Observe os tringulos _`[no representados_`] e mea os lados. 
<p>
  Alm dele mesmo, indique quais tringulos so semelhantes a:
a) (1)
b) (4)
c) (5)
d) (8)
e) (11)

35. Todos os tringulos _`[no representados_`] so semelhantes ao modelo. Copie-os em seu caderno e assinale em cada um os lados homlogos aos do modelo. 
<112>
<p>
36. Em cada item, os tringulos {a{b{c e {a{b{c so semelhantes. Determine as medidas dos elementos indicados por letras: 
a)
<F+>
<R->
<F-> 
                       B
                        #
                       _
                       _
   C                  _
   v                   _ 
   l                  _ x
   l                  _
3 l                  _ 
   l                  _
   l_-              _-_ 
   v-----u    ---------#
   A 4 B  C  9   A
<p>
b)
         A
         
        _-
           
   8  105 10
             
              
               
                
                 
------------------u
B                C

B        C
 ccccccccccm
          
2        x
      y 
       
      
      A
<p>
c)
            A
            
             
              
               
           A  
               
                
                 
 4  2        y   6
                   
      ----------u     
     B    x   C    
------------------------u
B          8          C
<F+>

<R+>
<F->
37. Os lados de um tringulo medem 7 cm, 5 cm e 4 cm. Determine os lados de um tringulo semelhante, sabendo que a razo de semelhana do primeiro para o segundo  1~3. 
<p>
38. Os tringulos {a{b{c e ABC da figura so semelhantes `({a{b{c$?$ABC`). Se a razo de semelhana do primeiro tringulo para o segundo  3~2, determine: 
a) *a*, *b* e *c*;  
b) a razo entre os seus permetros.  
<F+>
<R->
<F->

       A
       
        
         
  c        b
           
            
             
--------------u
B     a      C
<p>
       A
       
        
         
10        12
           
  ----------u
 B   14  C

<F+>
<R+>
<F->
39. Mostre que, se a razo de semelhana entre dois tringulos  *k*, ento a razo entre seus permetros tambm  *k*. 
40. Os lados de um tringulo medem 8 cm, 18 cm e 16 cm. Um tringulo semelhante a esse tem 63 cm de permetro. Determine os lados do segundo tringulo.  

41. Em cada item, os tringulos {a{b{c e ABC so semelhantes. Calcule a razo de seme-
<p>
  lhana e as medidas dos elementos indicados por *x* e *y*. 
<F+>
<R->
a)
<F->
    C
    v
    l
    l 
    l  
    l   
  y l     13
    l     
    l      
    l       
    l_-      
    v---------u
    A   5  B   
<P>
    C
    v
    l
    l 
    l  
    l   
    l    
    l     
24 l       26
    l       
    l        
    l         
    l_-        
    v-----------u
   A    x    B

<F->
b)
          A
         ie'             
     y *a    ^? 8       
    i         ^?      
B -u-------------C  
          x      
<P>
     A
      
       
3      4
         
 --------u
B  6  C
<F+>

<R+>
<F->
42. Os trs lados de um tringulo {a{b{c medem 9 cm, 18 cm e 21 cm. Determine os lados de um tringulo ABC semelhante a {a{b{c, sabendo que a razo de semelhana do primeiro para o segundo  igual a 3. 
<113> 
43. Os lados de um tringulo medem 8,4 cm, 15,6 cm e 18 cm. Esse tringulo  semelhante a um tringulo cujo permetro  35 cm. Calcule o maior lado do segundo tringulo. 
44. O permetro de um tringulo  60 m, e um dos lados tem 25 m. Qual  o permetro do tringulo semelhante, sabendo-se que o lado homlogo ao lado cuja medida foi dada mede 15 m?  
<F+>
<R->
<p>
Teorema fundamental 

  Vamos agora conhecer o teorema fundamental da semelhana de tringulos. Veja como chegamos a ele. 
  A figura mostra um tringulo {a{b{c, e ^c?{d{e*  um segmento paralelo ao lado ^c?{b{c*. 

<F->
       A
       ^?
      _- ^? 
  D ccccccc? E
    _-       ^?
B ------------- C
<F+>

  Observemos os ngulos dos tringulos {a{d{e e {a{b{c. 
  Do paralelismo de ^c?{d{e* e ^c?{b{c*, temos: 
 :D==:B e :E==:C 
  Ento, os tringulos {a{d{e e {a{b{c tm os ngulos ordenadamente congruentes: 
 :D==:B, :E==:C e :A  
  comum (1) 
<p>
  Sendo ~:,?{d{e*_l~:,?{b{c* e aplicando o teorema de Tales nas transversais ~:,?{a{b* e ~:,?{a{c*, temos: 
 {a{d~{a{b={a{e~{a{c (2) 

<F->
       A
       ^?
         ^? 
  D ccccccc? E   
             ^?
   -------------   
   B          C
<F+>

  Pelo ponto E, vamos conduzir ~:,?{e{f*, paralela a ~:,?{a{b*: 

<F->
         A                      
         ^?
           ^?
             ^? 
   D ccccccccm^? E
                ^?
    ---------------
    B      F     C
<F+>
<114>
<p>
  Sendo ~:,?{e{f*_l~:,?{a{b* e aplicando o teorema de Tales, temos: 
 {a{e~{a{c={b{f~{b{c 
  Mas ^c?{b{f*==^c?{d{e*, pois {b{d{e{f  um paralelogramo. 
  Substituindo {b{f por {d{e na ltima igualdade, vem: 
 {a{e~{a{c={d{e~{b{c (3) 
  Comparando (2) e (3), temos: 
 {a{d~{a{b={a{e~{a{c={d{e~{b{c 
  (4) 
  Voltando aos tringulos {a{d{e e {a{b{c, conclumos que eles tm ngulos congruentes (por (1)) e lados proporcionais (por (2)). Logo, eles so semelhantes. 
 {a{d{e$?;{a{b{c 
  
  Toda paralela a um lado de um tringulo, que intercepta os outros dois lados em pontos distintos, determina um novo tringulo semelhante ao primeiro. 
<p>
Exerccios

<R+>
45. Sabendo que ^c?{b{e*_l^c?{c{d*, {a{d=20 cm, {a{c=12 cm, {c{d=16 cm e {a{e=5 cm, determine {a{b=x e {b{e=y. 
<R->

<F->
   C          D
   pccccccccccccm
   l           
   l          
   l         
   l        
   l       
   l      
B pcccccm E
   l    
   l     
   l  
   l 
   l
   p
  A
<F+>
<p>
<R+>
<F->
46. Na figura _`[no representada_`], os ngulos :R e :C so congruentes, {a{s=6 cm, {s{b=
  =12 cm e {b{c=30 cm. Determine {r{s=x. 
<115>
47. Na figura _`[no representada_`], ^c?{m{n*_l^c?{b{c*, {m{n=
  =x-2, {b{c=x, {a{n=2 e {a{c=
  =3. Determine *x*.  

48. Sendo *r* e *s* retas paralelas, determine o valor de *x* nos casos: 
<F+>
<R->
a)
<F->
    ccccccccccccccpccccc
               E l 8
                  l 
    ccccccccccccccccpccc r
            12     l x
                    l 
    ---------------u-v--- s
      B     21   C 
<F+>
<p>
b) 
<F->
    ccccccccccccccccccccl
                        l 
                        l
    ccccccccccccccccpcccpcccc r
            x       l x l 8
                    l   l
    ---------------u-v---v---- s
             12
<F+>

<R+>
<F->
49. De um tringulo {a{b{c sabemos que {a{b=20 m, {b{c=30 m e {a{c=25 m. Se D est em ^c?{a{b*, E em ^c?{a{c*, ^c?{d{e*  paralelo a ^c?{b{c* e {d{e=18 m, determine x={d{b e y={e{c.  
50. As bases de um trapzio medem 12 m e 18 m, e os lados oblquos s bases medem 5 m e 7 m. Determine os lados do menor tringulo que obtemos ao prolongar os lados oblquos s bases.  
<p>
51. Calcule o permetro do tringulo {a{b{c da figura a seguir, sabendo que {a{m=12 m; {a{n=14 m; {m{n=16 m; {b{m=6 m e ^c?{m{n*_l^c?{b{c*.  
<F+>
<R->

<F->
       C
       
        
          
 N      
          
           
            
--------u-----u
A      M    B
<F+>

<R+>
<F->
52. As bases de um trapzio medem 10 cm e 16 cm, e a altura, 12 cm. Prolongam-se os lados no paralelos at se encontrarem. Calcule a altura dos tringulos assim determinados. 
<p>
53. Num tringulo issceles de 21 cm de altura e 33 cm de base est inscrito um retngulo de 7 cm de altura, com a base na base do tringulo. Calcule a base do retngulo. 
<F+>
<R->
<F->

                  c
                  _
                  _
                  _
                  _ 21
                  _
   pcccccccccc   _
   l 7       _   _
 --v----------#--u #-
        33
<F+>
<116>

Matemtica no tempo

Os teoremas de Tales 

  Segundo as fontes histricas de que dispomos, o pioneiro da busca por certezas em Matemtica, por meio de argumentos e raciocnios 
<p>
lgicos (e no por mtodos empricos), foi o grego Tales de Mileto (624-548 a.C.). Considerado tambm o pai da filosofia, Tales figura entre os sete sbios da Antiguidade. 
  Pouco se sabe sobre sua vida. Parece que comeou como mercador e, por ser muito inteligente, amealhou o suficiente para, depois, dedicar boa parte de sua vida  busca do saber -- que era o que mais valorizava. Como na poca de Tales a Grcia ainda no era a grande potncia cultural que se tornaria mais tarde,  possvel que ele tenha ido estudar Matemtica em centros mais avanados, como o Egito e a Mesopotmia. Retornando a Mileto, sua cidade natal, ganhou o merecido respeito de seus conterrneos, como estadista, filsofo, matemtico e astrnomo. 
<p>
  Sobre Tales, relatam-se algumas histrias engraadas. Uma delas, contada por Aristteles, mostra como Tales era capaz de conciliar o saber com o tino comercial. Certa vez, com base em seus conhecimentos sobre o tempo, ele pde prever que a safra seguinte de azeitonas seria muito abundante. Assim, obteve o monoplio de todas as prensas da regio. Confirmada sua previso, alugou todas as prensas e obteve grande lucro. Outra histria contada por Plato d conta de que ele, certa noite, caminhando com o olhar voltado para as estrelas do cu, caiu num fosso. As lnguas ferinas teriam comentado: como pretendia entender os cus um homem que no enxergava um palmo adiante do nariz?
  Entre as possveis realizaes cientficas de Tales, consta que previu o eclipse solar do ano 585 a.C., mas h srias dvidas sobre 
<p>
isso. De fato,  bastante improvvel que houvesse naquele tempo, mesmo entre os babilnios, tabelas astronmicas que permitissem fazer tal previso. Muito mais provvel  o relato de alguns historiadores, segundo os quais Tales causou grande admirao no Egito ao calcular matematicamente a altura da Grande Pirmide. 
<117>
  Se esse ltimo relato for mesmo verdadeiro, sua ideia pode ter sido a seguinte: escolher uma hora de um dia conveniente para fincar no cho, na extremidade da sombra da pirmide, uma estaca de tamanho conhecido. Observe a figura _`[no representada_`]. 
  Como os tringulos {a{b{d e {c{d{e so semelhantes, ento seus lados correspondentes so proporcionais. Logo: 
 h~?b~2+s*=p~d e, da, 
  h=p~d`(b~2+s`)
<p>
   interessante observar que a proporcionalidade usada j era conhecida empiricamente pelos babilnios muito tempo antes de Tales. Assim, como a altura *p* e a sombra *d* da estaca, bem como a sombra *s* da pirmide puderam ser medidas, a altura *h* tambm pde ser determinada. O valor encontrado por Tales corresponde, em nosso sistema de numerao a, aproximadamente, 140 metros -- 6 metros a menos que o valor real na ocasio, que era de 146 metros. Hoje, devido ao desgaste, a altura da pirmide  137 metros. 
  Atribuem-se tambm a Tales as demonstraes dos seguintes resultados: 
<R+>
<F->
a) Um crculo  bissectado por qualquer de seus dimetros. 
b) Os ngulos da base de um tringulo issceles so congruentes. 
c) Dois ngulos opostos pelo vrtice so congruentes. 
<p>
d) Se dois tringulos so tais que dois ngulos e um lado de um deles so congruentes, respectivamente, a dois ngulos e um lado do outro, ento os dois tringulos so congruentes. 
e) Um ngulo inscrito num semicrculo  reto. (Voc ver esse assunto na Unidade 6.) 
<F+>
<R->
  Como se nota, entre os teoremas supostamente provados por Tales no figura aquele que trata de um feixe de paralelas cortado por duas retas transversais, conhecido entre ns por teorema de Tales. Esse crdito talvez venha, indiretamente, do fato de Tales ter usado, no clculo da altura da Grande Pirmide, a proporcionalidade dos lados correspondentes de dois tringulos semelhantes. Vale registrar, porm, que na literatura matemtica, em geral,  mais comum chamar de teorema de Tales o quinto dos teoremas relacionados anteriormente (item *e*). 
<p>
Explorando a leitura 
<R+>

<F->
1. A filosofia de Pitgoras via nos nmeros (inteiros positivos) e nas relaes entre eles a chave para a explicao das coisas da natureza. E a filosofia de Tales? Pesquise. 
2. Quais foram os sete sbios da Antiguidade? Pesquise. 
3. Para que dois tringulos sejam semelhantes, basta que dois ngulos de um sejam respectivamente congruentes a dois ngulos do outro. Ou seja, isso basta para que sejam proporcionais os lados correspondentes (lados opostos a ngulos congruentes). No entanto, o fato de trs ngulos internos de um quadriltero convexo serem respectivamente congruentes a trs ngulos internos de um outro no garante que os quadrilteros sejam semelhantes. D um exemplo, mostrando isso. 
<p>
4. Na determinao da altura da Grande Pirmide, Tales usou uma hiptese sobre os raios do Sol. Qual? 
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::
<p>
<118>
Captulo 12- Casos de 
  semelhana 

  O conceito de tringulos semelhantes fixou as seguintes condies para um tringulo {a{b{c ser semelhante a outro, ABC: 
 :A==:A, :B==:B, 
  :C==:C, (trs congruncias 
  de ngulos) e {a{b~AB=
  ={a{c~AC={b{c~BC, 
  (proporcionalidade dos trs 
  lados)
  Entretanto, essas exigncias podem ser reduzidas. Os casos de semelhana (ou critrios de semelhana) que vamos ver em seguida mostram quais so as condies mnimas para dois tringulos serem semelhantes. 

1 caso: {a{a (ngulo -- 
  ngulo) 

  Observe dois tringulos, {a{b{c e ABC, com dois ngulos 
<p>
respectivamente congruentes: 
 :A==:A e :B==:B

<F->
              A
              
             _-
                
                 
                  
                     
                    
                     
      _-              
  B ------------------u C

         A
         
        _-
           
            
     _-      
B ----------u C
<F+>

  Se ^c?{a{b*==^c?AB*, ento, {a{b{c==ABC e, da, {a{b{c$?;ABC. 
<p>
  Vamos supor que os tringulos no so congruentes e que 
 {a{b > AB. 
  Tomemos D em ^c?{a{b*, de modo que ^c?{a{d*==^c?AB*, e por D vamos traar ^c?{d{e*_l^c?{b{c*. 

<F->
              A
              
               
                
                 
          _-      
      D ----------u E
                    
                     
      _-              
  B ------------------u C
                      
<F+>

  Pelo caso de congruncia {a{l{a, os tringulos {a{d{e e ABC so congruentes: 
 {a{d{e==ABC 
  Pelo teorema fundamental, os tringulos {a{d{e e {a{b{c so semelhantes: 
 {a{d{e$?;{a{b{c 
<119>
<p>
  Ento, os tringulos ABC e {a{b{c tambm so semelhantes. 
 ABC$?;{a{b{c 

  Se dois tringulos possuem dois ngulos respectivamente congruentes, ento os tringulos so semelhantes. 

2 caso: {l{a{l (Lado -- 
  ngulo -- Lado) 

  Se dois tringulos tm dois lados correspondentes proporcionais e os ngulos compreendidos congruentes, ento os tringulos so semelhantes. 
  Observe a demonstrao considerando os dois tringulos a seguir _`[no representados_`].
 c~c=b~b; :A==:A 
  :> {a{b{c$?;ABC
  Note que: 
<p>
<F->
 pelo caso de congruncia 
  {l{a{l: 
{a{d{e==ABC 
 pelo teorema fundamental: 
{a{d{e$?;{a{b{c 
<F+>
  Ento, ABC$?;{a{b{c.
 
3 caso: {l{l{l (Lado -- Lado 
  -- Lado) 

  Se dois tringulos tm os lados correspondentes proporcionais, ento os tringulos so semelhantes. 
 a~a=b~b=c~c 
  :> {a{b{c$?;ABC
<120>
  Note que: 
 pelo caso de congruncia 
  {l{l{l: 
 {a{d{e==ABC 
 pelo teorema fundamental: 
 {a{d{e$?;{a{b{c 
  Ento, ABC$?;{a{b{c.
<p>
<F->
               b
    ::::::::::::::::::o
       b   E
 A ccccccccmcccccccccm C
                   
  c      a      
                  a
                
     D           
  c            
              
             
                       
            B

{a{c=b
{a{e=b
{a{b=c
{a{d=c
{b{c=a
{d{e=a
<F+>
<p>
Consequncia: base mdia de um 
  tringulo 

  Observe um tringulo {a{b{c em que M e N so os pontos mdios de ^c?{a{b* e ^c?{a{c*. 

<F->
              A
              
               
                
                 
                  
      M ----------u N
                    
                     
      _-              
     ------------------u
     B                C
<F+>

  Observe os tringulos {a{m{n e {a{b{c. Eles tm :A em comum e {a{m~{a{b={a{n~{a{c=1~2.
  De acordo com o 2 caso de semelhana, temos: 
 {a{m{n$?;{a{b{c e, portanto, 
  :M==:B e {m{n~{b{c=1~2
<p>
   Assim, podemos concluir que ^c?{m{n*_l^c?{b{c* e {m{n=
 ={b{c~2.
  Podemos resumir da seguinte forma: 

  Se um segmento une os pontos mdios de dois lados de um tringulo, ento ele  paralelo ao terceiro lado e  metade do terceiro lado.
 
  Observe a figura a seguir. Tomamos um tringulo {a{b{c e marcamos M, ponto mdio do lado ^c?{a{b*. Em seguida, traamos por M a reta *r*, paralela ao lado ^c?{b{c*. 
  Pelo teorema fundamental, temos {a{m{n$?;{a{b{c; portanto, {a{m~{a{b={a{n~{a{c={m{n~{b{c=
 =1~2, ou seja, N  ponto mdio de ^c?{a{c*, e {m{n  a metade de {b{c. 
<p>
<F->
          A
          
           
            
             
              
  M ----------u N r_l^c?{b{c*
                
                 
                  
 ------------------u
 B                C
<F+>

  Vale a recproca: 

  Se pelo ponto mdio de um lado de um tringulo traarmos uma reta paralela a outro lado, ento ela encontra o terceiro lado em seu ponto mdio. 
<121>
 
  Com base nos casos de semelhana, se a razo de semelhana de dois tringulos  *k*, ento podemos ter os seguintes resultados: 
<R+>
<F->
 a razo entre lados homlogos  *k*; 
<p>
 a razo entre os permetros  *k*; 
 a razo entre as alturas homlogas  *k*; 
 a razo entre as medianas homlogas  *k*; 
 a razo entre as bissetrizes internas homlogas  *k*; 
 a razo entre os raios dos crculos inscritos  *k*; 
 a razo entre os raios dos crculos circunscritos  *k*; 
 a razo entre dois elementos lineares homlogos  *k*, e os ngulos homlogos so congruentes. 
<F+>
<R->

Exerccios

<R+>
<F->
_`[{para os exerccios 54 e 55, pea orientao ao professor_`]

54. So dados 8 tringulos 
  _`[no representados_`]. Indique os pares de tringulos semelhantes e o caso de semelhana correspondente. 
<p>
55. Determine *x* e *y* nas figuras _`[no representadas_`]. 
56. Determine a altura de um prdio cuja sombra tem 15 m no mesmo instante em que uma vara de 6 m fincada em posio vertical tem uma sombra de 2 m.
<F+>
<R->

<F->
      pcccc
      l    _
      l    _
      l    _
      l    _
      l    _
------v----#
<F+>
<122> 

<R+>
<F->
_`[{para os exerccios 57 a 68, pea orientao ao professor_`]

57. Se ^a=^b, determine *x* e *y* nos casos:

_`[Figuras no representadas_`] 

58. Na figura _`[no representada_`], as medidas so {a{b=8 cm, 
<p>
  {b{c=3 cm, {a{e=5 cm. Calcule {d{e=x, sabendo que :?{a{c{e*==:{a{d{b*.  
59. Dada a figura _`[no representada_`], determine o valor de *x*. 
60. Na figura, temos: 
<F+>
<R->

<F->
A
? 
 ^? S
   ^"
    ^?
 R    ^?
         ^?
           ^?
       -------
       B    C
<F+>

<F->
 :S==:B
 {a{r=7 cm 
 {a{s=5 cm 
 {s{r=4 cm 
 {a{b=10 cm 
  Determine {a{c=x e {b{c=y.  
<p>
61. Determine *x* e *y*. 
<F+>

<F->
    4
   pcc
   l_- 
3 l    
   l  x  
   r:::::: 
   l_-     
6 l        
   l         
   l    y     
   r:::::::::::
   l_-          
9 l              
   l              
   l               
   l_-    16       
   v-----------------u
<F+>

<R+>
62. Na figura a seguir, o quadrado {d{e{f{g est inscrito no tringulo retngulo {a{b{c. 
  Sendo {b{d=8 cm e {c{e=2 cm, calcule o permetro do quadrado.  
<R->
<F->
<p>
          A
          ?          
         _-^?     
             ^?    
    G _ccccccc? F
       _       _ ^?    
       _       _   ^?   
       _       _     ^? 
   ----#-------#--------
   B  D      E      C 
<F+>

<123>
<R+>
63. Determine {d{e=x, sabendo que o tringulo {a{b{c 
   retngulo em A, o tringulo {d{e{c  retngulo em D, {a{b=8 cm, {a{c=15 cm, {b{c=17 cm e {c{d=5 cm. 
<R->

<F->
         A
         ^?     
        _- ^? E    
             ^? 
              l^? 
              l  ^? 
              l_-  ^? 
B -----------v------- C
              D      
<F+>
<p>
<R+>
64. Determine *x* e *y* nos casos a seguir. 
<R->
<F->
a)
                       *
                     *a
                   *a 
                 *a  
            5 *a ^a
             *a     5
           *a     
         }a      
    4 *a      
     *a  y    
   *a     ^a 
 -u----------m 
       x
<F+>

<R+>
b) _`[{figura no representada_`]

65. Na figura _`[no representada_`], consideremos os quadrados de lados *x*, 6 e 9. Determine o permetro do quadrado de lado *x*. 
<p>
66. Determine a medida dos lados do quadrado da figura a seguir.  
<R->
<F->

   C
   r?
   l ^?
   lE ^?
   v-----? D
4 l_- _-_ ^?
   l     _   ^?
   l_- _-_F   ^?
   v-----#-------- 
   A      6   B

{c{a=4
{a{b=6
<F+>

<R+>
67. Dois crculos de raios 6 cm e 4 cm so tangentes exteriormente no ponto A. Sendo C e D os pontos de tangncia de uma reta *t* externa, com os dois crculos, determine a altura do tringulo {a{c{d relativa ao lado ^c?{c{d*. 
<124>
<p>
68. Na figura, temos: {a{b=8, {b{c=15, {a{c=17 e {e{c=4. Determine {d{e=x e {c{d=y. 
<R->

<F->
   A              D
   r?              w
   l ^?        x i _
   l   ^?      i   _
   l     ^?  i     _ 
   l       ^_-     _ y
   l      E ^?     _
   l           ^? _-_
   l_-           ^? _
   v---------------#
   B              C
<F+>

Desafio

Televisores 

  Dizer que uma tela de televiso tem 20 polegadas significa dizer que a diagonal da tela mede 20 
<p>
polegadas. Quantas telas de televiso de 20 polegadas cabem numa tela de 60 polegadas? 

               ::::::::::::::::::::::::
<p>
Captulo 13- Relaes mtricas 
  no tringulo retngulo 

O tringulo retngulo 

  Os elementos de um tringulo retngulo recebem denominaes especiais; assim, para um tringulo {a{b{c retngulo em A, temos que: 
<R+>
 o lado *a* (ou de medida *a*), oposto ao ngulo :A,  a hipotenusa; 
 os lados *b* e *c* (ou de medidas *b* e *c*), opostos, respectivamente, aos ngulos :B e :C, so os catetos. 
<R->
<p>
<F->
   B               
   r?          
   l ^?     
   l   ^?    
   l     ^? a 
 c l       ^? 
   l         ^?    
   l           ^?   
   l_-           ^? 
   v----------------
   A      b      C
<F+>

  Vamos traar a altura ^c?{a{d* relativa  hipotenusa e observar as figuras de um mesmo tringulo retngulo em duas posies diferentes. 
  Temos: 
<R+>
<F->
 m= projeo do cateto *b* sobre a hipotenusa; 
 n= projeo do cateto *c* sobre a hipotenusa; 
 h= altura relativa  hipotenusa. 
<F+>
<R->
<p>
<F->
           A 
           #?          
          _ ^?     
          _   ^?    
          _     ^? 
     c    _ h     ^? b
          _         ^?    
          _           ^?   
     n    __-    m      ^? 
B -------#---------------- C
          D         
   ::::::::::::::::::::::::o
                a

   C  ^?
   r?     ?          
   l ^?    ^?  a  
   lm  ^?    ^?   
   l     ^? D ^?  
 b l   _- *^?    ^?
   l  h *a   ^?    ^?     
   l  *a     n ^?    ^?  
   v*a           ^?    ^?
   v----------------   
   A      c      B
<F+>
<p>
Semelhanas no tringulo 
  retngulo  

  O tringulo {a{b{c  retngulo em A. 
  No tringulo {a{b{c, os ngulos :1 e :2 so complementares (a soma deles  90). 

<F->
           A 
           ?          
          _ ^?     
          _   ^?    
          _     ^? 
          _       ^? 
          _         ^?    
          _           ^?   
     1 _-__-        2 ^? 
   -------#---------------- 
   B     D              C
<F->

  Conduzindo a altura ^c?{a{d* relativa  hipotenusa do tringulo {a{b{c, obtemos dois outros tringulos retngulos: {d{b{a e {d{a{c. 
<p>
  O ngulo :3 do tringulo {d{b{a  complemento do ngulo :1; ento,  congruente ao :2, do tringulo {a{c{d, anterior. 

<F->
         A
         #
        _
        _
        _
      3_
        _
        _
        _
  1  _-_
--------#
B      D
<F+>

:3==:2
<126>

  O ngulo :4 do tringulo {d{a{c  complemento do ngulo :2. Ento,  congruente ao :1. 
<p>
<F->
A
v
l
l 
l  
l   
l 4 
l     
l      
l       
l        
l         
l          
l           
l_-       2 
v-------------u
D           C
<F+>

 :4==:1

  Os tringulos {a{b{c, {d{b{a e {d{a{c tm os ngulos respectivamente congruentes e, portanto, so semelhantes. 
 {a{b{c$?;{d{b{a$?;{d{a{c 
<p>
Relaes mtricas no tringulo 
  retngulo 

  Voltemos ao tringulo {a{b{c, retngulo em A, com a altura ^c?{a{d*. 

<F->
           A 
           ?          
          _ ^?     
          _   ^?    
      c   _     ^? b
          _       ^? 
          _         ^?    
          _           ^?   
        _-__-           ^? 
B -------#---------------- C
          D         
   ::::::::::::::::::::::::o
                a
<p>
          A 
          #   
         _   
         _   
     c   _   
         _ h 
         _    
         _    
       _-_    
B-------#     
     n   D

  A 
  r?
  l ^? 
  l   ^? b
  l     ^?
h l       ^? 
  l         ^?
  l           ^?
  l_-           ^?
  v---------------- C
  D      m        
<F+>
<p>
  Explorando a semelhana dos tringulos, temos: 
<R+>
<F->
{a{b{c$?;{d{b{a 
  :> {b{c~{a{b={a{b~{b{d 
  :> a~c=c~n :> c2=a.n (1)
{a{b{c$?;{d{a{c 
  :> {b{c~{a{c={a{c~{d{c 
  :> a~b=b~m :> b2=a.m (2) 
{d{b{a$?;{d{a{c 
  :> {a{d~{d{c={b{d~{a{d
  :> h~m=n~h :> h2=m.n (3)
<F+>
<R->
  As relaes (1), (2) e (3) so as principais relaes mtricas no tringulo retngulo. 

  Em qualquer tringulo retngulo: 
<R+>
<F->
 cada cateto  mdia proporcional (ou mdia geomtrica) entre sua projeo sobre a hipotenusa e a hipotenusa: 
b2=a.m e c2=a.n 
 a altura relativa  hipotenusa  mdia geomtrica (ou mdia proporcional) entre os segmentos que determina na hipotenusa: 
h2=m.n 
<F+>
<R->
<p>
  Dessas trs relaes, decorrem outras. Vamos destacar duas: 
<R+>
<F->
 Multiplicando membro a membro as relaes (1) e (2) e, em seguida, usando a (3), obtemos: 
b2=a.m; c2=a.n 
  :> b2`.c2=a2.m.n 
  :> b2`.c2=a2`.h2 
  :> b.c=a.h 
<F+>
<R->
<127>

  Em qualquer tringulo retngulo o produto dos catetos  igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa a ela: 
 b.c=a.h 

<R+>
<F->
 Somando membro a membro as relaes (1) e (2) e observando que m+n=a, obtemos: 
b2=a.m; c2=a.n :> b2+c2=
  =a.m+a.n :> b2+c2=a.`(m+n`) 
  :> b2+c2=a2 
<F+>
<R->

  Em qualquer tringulo retngulo a soma dos quadrados dos catetos  igual ao quadrado da hipotenusa: 
 b2+c2=a2 
<p>
  Essa ltima relao  conhecida como teorema de Pitgoras. 
  Podemos resumir as relaes mtricas em um tringulo retngulo da seguinte maneira: 
<F->
           
           #?          
          _ ^?     
          _ _-^?    
          _     ^?  b
          _       ^? 
          _         ^?    
          _           ^?   
          _ _-   m      ^? 
   -------#---------------- 
              a       
<F+>

b2=a.m

Exerccios

<R+>
69. Para cada item, use as relaes mtricas no tringulo retngulo, copie as sentenas e 
<p>
  complete-as, substituindo os pontinhos pelos elementos corretos: 
<R->
a)
<F->
           A 
           #?          
          _ ^?     
          __- ^?    
      c   _     ^? b
          _ h     ^? 
          _         ^?    
          _           ^?   
     n    __-    m      ^? 
B -------#---------------- C
          D         
   ::::::::::::::::::::::::o
                a
<F+>

<R+>
b2=a'''; h2=''''''; c2='''n; bc=''''''; b2+c2='''
<R->
<p>
b)
<F->
               h
   ::::::::::::::::::::::::o
   ccccccccccccccccpcccccccm
    ^?    b       _-l  c   
      ^?            l      
        ^?          l    
        m ^?      a l    n
            ^?      l  
              ^?    l 
                ^?_-l
                  ^?p
<F+>

<R+>
ch='''; m2+n2='''; bh='''; ha='''; a2+b2='''; bc='''; a2+c2='''
<R->
<P>
c)
<F->
    v
    l
    l 
  s l   n
    l   
    l    
    l_- t 
    pcccccm
    l    
    l r 
    l  
    l  m  
    l 
    p  
<F+>

<R+>
rs='''; `(r+s`)r='''; `(rs`)s='''; t2+r2='''; mn='''; t2+s2='''; m2+n2='''
<R->
<128>
<p>
<R+>
70. Determine o valor de *x* em cada item. 
<R->
<F->
a)
          #?          
         _ ^?     
         _   ^?    
         _     ^? 
         _ x     ^? 
         _         ^?    
         _           ^?   
         __-           ^? 
  -------#----------------
     4          9 

b)
<F->
               *v  
             *a l
           *a   l         
         *a     l        
       *a       l          
     *a         l 6            
   *a           l                
 *a             l_-              
---------------v-------u
      12           x
<P>
c)
   r?     
   l ^? x   
   l   ^?     
   l     ^?            
   l       ?
   l      _-^?     
   l          ^?    
   l            ^? x+6
   l              ^? 
   l   4           ^?    
   l                  ^?   
   l_-                  ^? 
   ------------------------
    
d)
               *v  
             *a l
           *a   l         
         *a     l        
       *a       l    x
     *a         l               
   *a           l                
 *a           _-l  4            
---------------v-------u
           16
<F+>
<p>
<R+>
71. Calcule o valor de *x* em cada item. 
<R->
<F->
a)
   r?
   l ^? 
   l   ^? x
   l     ^?
3 l       ^? 
   l         ^?
   l           ^?
   l_-           ^?
   v----------------         
          4

b)
          ?
         _-^?     
             ^?    
               ^? x
   5            ^? 
                   ^?    
                     ^?   
                       ^? 
  ------------------------
             13 
<p>
c)
          #?
         _ ^?     
         _   ^?    
         _     ^? 
         _ 6    ^? 
         _         ^?    
         _           ^?   
         __-           ^? 
  -------#----------------
     x           x+5   

d)
          #
         _
         _
  5   _
         _ 1
         _
         _  
       _-_
  -------#
      x
<F+>

<R+>
72. Uma escada de 2,5 m de altura est apoiada em uma parede, da qual o p da escada dista 
<p>
  1,5 m. Determine a altura em que a escada atinge a parede.  
 73. Determine *x* nos casos _`[{no representados_`].
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
<F->
74. Num tringulo retngulo os catetos medem 8 cm e 15 cm. Determine a hipotenusa, as projees dos catetos sobre a hipotenusa e a altura relativa  hipotenusa.
75. A altura relativa  hipotenusa de um tringulo retngulo mede 12 m e a hipotenusa mede 25 m. Calcule as medidas dos catetos.  
<129>
76. Calcule *x*, *y*, *z* e *t* no tringulo retngulo da figura _`[no representada_`]. 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<p>
<R+>
<F->
77. Num tringulo retngulo, os catetos medem 5 cm e 12 cm. Determine: 
a) a hipotenusa; 
b) as projees dos catetos sobre a hipotenusa; 
c) a altura relativa  hipotenusa.  

78. Calcule a hipotenusa num tringulo retngulo em que a altura relativa  hipotenusa mede 6 cm e determina na hipotenusa dois segmentos cuja diferena  5 cm.  
79. A altura relativa  hipotenusa de um tringulo retngulo  de 2,4 cm e a hipotenusa mede 5 cm. Determine as medidas dos catetos.  
80. Num tringulo retngulo um cateto mede 10 cm e a altura relativa  hipotenusa  de 6 cm. Determine o outro cateto e as projees dos catetos sobre a hipotenusa.  
<p>
81. Dois ciclistas partem de uma mesma cidade em direo reta; um deles em direo leste, e o outro em direo norte. Determine a distncia que os separa depois de duas horas, sabendo que a velocidade dos ciclistas  de 30 km/h e 45 km/h, respectivamente.  
82. Dois telefricos T1 e T2 partem de uma estao E situada num plano horizontal, em direo aos picos P1 e P2 de duas montanhas. Determine a 
  distncia entre P1 e P2, sabendo que os telefricos fazem percursos de 1.500 m e 2.900 m, respectivamente; que a primeira montanha tem 900 m de altura, e a segunda, 2.000 m; e  
  que os ps das montanhas e E esto em linha reta. Lembre-se: 
<130>
  Se uma reta *t*  tangente a uma circunferncia de centro O e T  o ponto de tangncia, ento *t*  perpendicular ao raio ^c?{o{t*. 
<p>
_`[{para os exerccios 83 a 101, pea orientao ao professor_`]

83. Agora, observe a figura 
  _`[no representada_`] e calcule {p{t, sabendo que {o{t=2 cm e {o{p=4 cm.
84. Sabendo que ^c?{p{a* e ^c?{p{b* so tangentes  circunferncia de centro O e raio 6 cm, calcule o permetro do 
  quadriltero {o{a{p{b _`[no representado_`] cuja diagonal {o{p=10 cm.  
85. Um crculo _`[no representado_`] de 4,5 cm de raio  tangente a um segmento ^c?{a{b* de 
  6 cm no ponto A. Calcule o raio de outro crculo _`[no representado_`] tangente ao primeiro e ao segmento ^c?{a{b* no ponto B. Lembre-se de que O1, O2 e T esto alinhados. Lembre-se: Quando tomamos 
<p>
  uma circunferncia de centro O e marcamos um dimetro ^c?{b{c* e duas cordas ^c?{a{b* e ^c?{a{c*, o tringulo {a{b{c  retngulo em A, porque :?{b{a{c* est inscrito numa semicircunferncia. 
86. Agora, termine de desenhar um tringulo retngulo {a{b{c _`[no representado_`] e determine *x* em cada caso. 
<131>
87. Determine *x*, *y*, *z* e *t* nas figuras _`[no representadas_`], sabendo que O  o centro da circunferncia. 
88. Calcule *x* em cada figura _`[no representada_`]. 
89. De um ponto P externo a uma circunferncia de 6 cm de raio traamos o segmento ^c?{p{t* tangente, que mede 103 cm. Determine a distncia de P ao centro O da circunferncia _`[no representada_`].  
<p>
90. Uma corda ^c?{a{b* de um crculo mede 6 cm e a distncia dessa corda ao centro do crculo  de 3 cm. Quanto mede o raio do crculo, em centmetros?  
91. Na figura _`[no representada_`], ^c?{p{t*  tangente  circunferncia de centro O e raio *r*, e {p{a  a distncia de P  circunferncia. Dado *r* e sabendo que {p{t=2r, determine {p{a.  
92. Um ponto P dista 2 cm de uma circunferncia de raio *r*, e a tangente ^c?{p{t*  circunferncia traada desse ponto  congruente ao raio. Calcule o valor do raio. 
93. Um ponto P dista {p{a=12 cm de uma circunferncia de centro O e de 3 cm de raio. ^c?{p{t*  tangente  circunferncia em T, e ^c?{t{b*  perpendicular a {o{p em B. Determine a medida do segmento ^c?{a{b*. 
<p>
94. Determine o valor de *x* nos casos _`[no representados_`]. 
95. Seja um ponto P, externo a uma circunferncia. A menor distncia desse ponto  circunferncia vale 6 cm, e a maior, 24 cm. Determine o comprimento do segmento tangente  circunferncia, por esse ponto.
<131>
96. Dois crculos de raios 12 cm e 20 cm so tangentes externamente. Determine o comprimento do segmento ^c?{p{q*, tangen-
  te comum aos dois crculos, sendo P e Q pontos de tangncia.  

97. Determine o valor de *x* nos casos _`[no representados_`]. 
a) ^c?{a{b*  dimetro, ^c?{c{d*#'^c?{a{b*; 
b) ^c?{a{b*  dimetro, {b{d=15 e ^c?{c{d*#'^c?{a{b*. 

98. Determine *x* nos casos 
  _`[no representados_`].
<p>
99. Numa circunferncia de 5 cm de raio, uma corda perpendicular a um dimetro separa-o em duas 
  partes, uma das quais mede 1 cm. Calcule o comprimento da corda. 
100. Uma circunferncia tem 5 cm de raio. Uma corda traada da extremidade de um dimetro mede 45 cm. Determine a medida da projeo dessa corda sobre o dimetro.  
101. Um tringulo retngulo e issceles est inscrito numa circunferncia de 9 cm de raio. Determine a medida dos lados congruentes do tringulo.  
<F+>
<R->

Aplicaes notveis do teorema de 
  Pitgoras 

  O teorema de Pitgoras permite obter algumas expresses para clculos mais rpidos. Observe os casos a seguir. 
<p>
Diagonal do quadrado 

  Na figura _`[no representada_`], {a{b{c{d  um quadrado cujo lado mede *l*. 
<133>
  Vamos calcular a diagonal *d* do quadrado em funo do lado *l*. 
  O problema pode ser formulado tambm assim: tendo o lado *l*, calcule a diagonal *d*. 
  Aplicando o teorema de Pitgoras no tringulo {a{b{c, temos: 

<F->
                   C
 !,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 k                *a_
 k              *a  _
 k            *a    _
 k          *a      _
 k      d *a        _ l
 k      *a          _
 k    *a            _
 k  *a              _
 k*a              _-_
 h::::::::::::::::::j
 A        l       B
<F+>
<p>
 d2=l2+l2 :> d2=2l2 
  Da: 
 d=l2 `(2^=1,4.142) 
  Por exemplo, vamos calcular a diagonal de um quadrado de 6 cm de lado: 
 d=l2 :> d=62 
  A diagonal de um quadrado de 6 cm de lado mede 62 cm (aproximadamente 8,485 cm). 

Altura de um tringulo 
  equiltero 

  Na figura _`[no representada_`], {a{b{c  um tringulo equiltero de lado *l*. 
  Vamos calcular a altura *h* do tringulo em funo de *l*. 
  Aplicando o teorema de 
 Pitgoras no tringulo {a{m{c, temos: 
<p>
<F->
        A
        v
       l 
       l 
       l  
       l   
     h l     l
       l     
       l      
-------v-------u
       M l~2 C
<F+>

<F->
h2+`(l~2`)2=l2 :> h2=
  =l2-`(l~2`)2
h2=l2-l2~4=3l2~4
<F+>
  Da: 
 h=l3~2 `(3^=1,732`)
  Vamos calcular, por exemplo, a altura de um tringulo equiltero de 6 cm de lado. 
 h=?l3*~2 :> h=?63*~2=
  =33 
  A altura do tringulo mede 33 (aproximadamente 5,196 cm). 
<134>
<p>
Exerccios

<R+>
102. Determine o valor de *x* nos casos a seguir. 
 a) retngulo 

<R->
<F->
   !:::::::::::::::::::
   l                 *a_
   l               *a  _
   l             *a    _
   l           *a      _
5 l       x *a        _ 
   l       *a          _
   l     *a            _
   l   *a              _
   l *a                _
   h:::::::::::::::::::j
           12
<p>
b) quadrado 
<F->
                   
 !:::::::::::::
 k            *_
 k          *a _
 k      x *a   _ 
 k      *a     _
 k    *a       _
 k  *a         _
 k*a           _
 h:::::::::::::j
         6        
<F+>

c) quadrado  

<F->                   
 !:::::::::::::
 k            *_
 k          *a _
 k     8 *a   _ x
 k      *a     _
 k    *a       _
 k  *a         _
 k*a           _
 h:::::::::::::j
<F+>
<p>
<R+>
<F->
103. A diagonal de um quadrado tem 52 cm. Determine o permetro do quadrado.  
104. O permetro de um retngulo  34 cm. Um dos lados mede 5 cm. Determine a diagonal.

105. Determine *x* nos casos a seguir. 
a) tringulo equiltero  
<F+>
<R->

<F->
       v
       l
       l 
       l  
     x l    10
       l    
       l_-   
-------v------u
<F+>
<p>
b) tringulo equiltero  

<F->
       v
       l
       l 
  x    l  
    6 l    
       l    
       l_-   
-------v------u
<F+>

<R+>
<F->
106. O permetro de um tringulo equiltero  18 cm. Calcule a altura do tringulo. 
107. Calcule a altura de um tringulo issceles, sabendo que 
<p>
  os lados congruentes medem 25 cm cada um e que a base do tringulo tem 14 cm.  
<F+>
<R->

<F->
       v
       l
       l 
25    l   25
     x l    
       l    
       l_-   
-------v------u
::::::::::::::o
      14
<F+>

<R+>
<F->
108. Calcule o permetro do tringulo issceles de 16 cm de base e 6 cm de altura.  
109. Calcule, com aproximao at centsimo de milmetro, a medida da altura de um tringulo que tem os trs lados medindo 12 mm.  
<p>
110. Determine a altura no relativa  base de um tringulo issceles de lados 10 m, 10 m e 12 m. 
111. O permetro de um tringulo issceles  de 18 m, e a altura relativa  base mede 3 m. Determine a base.  
112. Num tringulo issceles de altura 8, inscreve-se uma circunferncia de raio 3. Calcule a medida da base do tringulo.  
<135>
113. Nas figuras _`[no representadas_`], determine os elementos indicados. 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
<F->
114. Determine a menor altura de um tringulo cujos lados medem 4 m, 5 m e 6 m. 
<p>
115. Determine o valor de *x* nos paralelogramos.
a)
<F->
                10
       pccccccccccccccccccm
       l                 
       l                
  x    l 4            
       l              
       l             
       l_-          
-------v-----------
          7

b)
       cccccccccccccmmaaaaaaa
                 ~^     l
              ~^        l
  x    17 ~^           l 8
        ~^              l
     ~^                 l
  ~^                    l
--------------''''''''''''''
       9

<p>
116. As diagonais de um losango medem 10 cm e 24 cm. Determine o permetro do losango.  
117. As diagonais de um losango medem 90 cm e 120 cm, respectivamente. Determine o lado e a distncia entre dois lados paralelos.  
118. Um trapzio retngulo de 15 cm de altura tem as bases medindo 10 cm e 18 cm. Determine a medida do lado oblquo s bases.  
<F+>
<R->

<F->
      10
    pccccc
    l      
    l       
15 l         x
    l         
    l          
    l_-         
    v------------u
         18
<F+>
<p>
<R+>
119. Determine a altura do trapzio da figura.  
<R->

<F->
             10
           ccccc
                 
                  
     8             221
                    
                     
     -----------------u
             20
<F+>
 
<R+>
<F->
120. As bases de um trapzio issceles medem 7 cm e 19 cm, e os lados no paralelos, 10 cm. Calcule a altura desse trapzio. 
121. Determine a medida da diagonal ^c?{a{c* do trapzio retngulo da figura a seguir, sabendo que as bases medem, respectivamente, 4 cm e 9 cm e que o lado ^c?{b{c* mede 34 cm. 
<F+>
<R->
<p>
<F->
    D  C
    pcccccu
    l_-   k
    l     k 
    l     k   
    l     k   
    l     k    
    l_-   k     
    v-----u------u B
    A   M 
<F+>

<R+>
122. As bases de um trapzio issceles medem 17 cm e 5 cm e os outros lados medem 10 cm cada um. Determine a altura do trapzio.  
<R->
<F->

             5
           ccccc
                 
                  
                    10
                    
                     
     -----------------u
             17
<F+>
<p>
<135>
<R+>
<F->
_`[{para os exerccios 123 a 130, pea orientao ao professor_`]

123. Na figura _`[no representada_`], calcule a altura do trapzio retngulo {a{b{c{d.  
124. Na figura _`[no representada_`], determine o raio da circunferncia, sabendo que ^c?{a{c* e ^c?{a{d* tangenciam a circunferncia nos pontos C e D, respectivamente, e que {b{e=12 cm e {a{e=54 cm. 
125. Calcule o raio da circunferncia inscrita num trapzio retngulo de bases 10 m e 15 m.  
126. Na figura _`[no representada_`], o crculo de centro O  inscrito no quadrado {a{b{c{d; o crculo de centro E tangencia externamente o primeiro e tangencia dois lados consecutivos do quadrado. Dado o lado *l* do quadrado, determine o raio do crculo de centro E. 
<p>
127. Do mesmo lado de uma reta so traados trs crculos _`[no representados_`], tangentes  reta e tangentes entre si dois a dois. Sabendo que dois deles tm o mesmo raio *r* (dado), determine o raio *x* do terceiro crculo. 
128. Um quebra-cabea de 1.000 peas vai ser montado sobre uma mesa circular. Qual  o dimetro mnimo que a mesa deve ter, se a montagem pronta mede 4868 cm? 
129. Calcule o raio da circunferncia inscrita num tringulo retngulo de catetos que medem 6 m e 8 m. 
130. Na figura _`[no representada_`], a circunferncia  tangente s semicircunferncias. Sendo {m{n={n{p=r e *r* dado, calcule o raio da circunferncia. 
<137>
<p>
_`[{as figuras da construo 3, 4, 5 e 6, no foram representadas_`]
<F+>
<R->

Construo 3
 
Construo de segmentos com 
  medidas conhecidas I 

  Partindo de um segmento de 3 cm de comprimento, vamos construir um segmento de medida 32 cm. Para isso precisaremos de rgua e compasso. 
<R+>
<F->
1- Desenhamos um segmento de 3 cm. 
2- Construmos um quadrado de lado 3 cm. 
3- Traamos uma das diagonais desse quadrado, cuja medida  32 cm. Confirme o valor, usando Pitgoras. 
<F+>
<R->
<p>
Construo 4
 
Construo de segmentos com 
  medidas conhecidas II 

  Partindo de um segmento de 3 cm de comprimento, vamos construir um segmento de medida 33 cm. Usaremos rgua e compasso. 
<R+>
<F->
1- Desenhamos um segmento de 3 cm. 
2- Construmos um tringulo equiltero de lado 3 cm. 
3- Com base num dos lados do tringulo formado, construmos outro tringulo equiltero de lado 3 cm. 
4- Temos um losango. Traamos a diagonal que falta. (Essa diagonal mede o dobro da altura do tringulo equiltero, ou seja, 2.32~2 cm =33 cm.) 
<F+>
<R->
<138>
<p>
Construo 5 

Construo de segmentos com 
  medidas conhecidas III 

  Dado um segmento ^c?{a{b* de 3 cm, vamos construir segmentos com medidas 32 cm, 33 cm, 35 cm, etc. Vamos obter esses segmentos a partir da hipotenusa de tringulos retngulos em que um dos catetos vale 3. Precisaremos de rgua, esquadro e compasso. 
<R+>
<F->
1- Construmos um ngulo reto de vrtice A com o esquadro e marcamos nos lados desse ngulo ^c?{a{b* e ^c?{a{c* de 3 cm. Usando o teorema de Pitgoras, temos que a hipotenusa ^c?{b{c* do tringulo {a{b{c mede 32 cm. 
2- Aproveitando as construes feitas, fixamos a ponta-seca do compasso em A e, com abertura 32 cm, marcamos o ponto D 
<p>
  na reta ~:,?{a{c*. Assim, obtemos um novo tringulo retngulo de catetos 3 e 32. A hipotenusa ^c?{b{d* do tringulo {a{b{d mede 33 cm. 
3- Aproveitando as construes feitas, fixamos a ponta-seca do compasso em A e, com abertura 6 cm, marcamos o ponto E na reta ~:,?{a{c*. A hipotenusa ^c?{b{e* do tringulo {a{b{e mede 35 cm. 
<F+>
<R->

Construo 6 

Construo de segmentos com 
  medidas conhecidas IV 

  Dados dois segmentos de reta ^c?{a{b* e ^c?{c{d* `({a{b=1,25 cm e {c{d=4 cm`), vamos obter um segmento ^c?{p{q* tal que {p{q=`({a{b`)`({c{d`). Ou vamos construir um segmento ^c?{p{q* 
<p>
cuja medida  a mdia geomtrica (ou mdia proporcional) das medidas de dois segmentos dados. Para isso, usamos rgua e compasso. 
<139>
<R+>
<F->
1- Traamos uma reta *r* e sobre ela construmos ^c?{o{p*==^c?{a{b* e ^c?{p{r*==^c?{c{d*. 
2- Construmos uma semicircunferncia de dimetro ^c?{o{r*. 
3- Traamos por P a perpendicular  reta *r* e chamamos de Q o ponto em que ela corta a semicircunferncia. 
4- O segmento ^c?{p{q*  tal que `({p{q`)2=`({a{b`).`({c{d`). 
<F+>
<R->

Exerccios
 
<R+>
<F->
  Nos exerccios 131 a 138, use rgua e compasso e desenhe no seu caderno. 

_`[{para os exerccios 131 a 138, pea orientao ao professor_`]
<p>
131. Desenhe um segmento de medida 4 cm. Em seguida, construa um segmento de medida 42 cm. 
132. Desenhe um segmento de medida 6 cm. Em seguida, construa um segmento de medida 62 cm. 
133. Construa um segmento de medida 43 cm. 
134. Construa um segmento de medida 65 cm. 
135. Desenhe um segmento com 1 dm de comprimento. Em seguida, construa um segmento com 2 dm de comprimento. 
136. Desenhe um segmento de 5 cm. Em seguida, construa um segmento que mea 52 cm. 
137. Construa segmentos de comprimentos 3 cm, 5 cm e 6 cm. 
138. Construa um segmento cuja medida seja a mdia geomtrica entre 2,5 cm e 4,5 cm. 
<F+>
<R->
<p>
Desafio
 
Brincando com nmeros 

  Construa uma expresso aritmtica cujo valor seja 120, utilizando apenas quatro vezes o nmero 8 e usando  vontade os sinais das operaes e, se necessrio, parnteses.  
<140> 

Matemtica no tempo

Teorema de Pitgoras 

  Em uma plaqueta de argila babilnica -- provavelmente do perodo entre 1900 a.C. e 1600 a.C. --, encontrada em Susa, no Ir atual, pode estar registrado o mais antigo exemplo conhecido do uso do teorema de Pitgoras. Como isso pode ser explicado, se Pitgoras viveu cerca de um milnio depois dessa poca? 
<p>
  De fato, Pitgoras nasceu por volta de 572 a.C., na ilha de Samos, no mar Egeu. Samos era uma rica cidade-estado grega, governada por uma classe mercantil mais preocupada em expandir seu poder do que em fomentar o conhecimento -- justamente o que mais interessava ao jovem Pitgoras. Por isso, aos 18 anos de idade, ele se mudou para a ilha de 
 Lesbos, onde estudou filosofia por dois anos. 
  Depois, possivelmente visitou Tales, j idoso, em Mileto, para usufruir de seu saber. A seguir, talvez orientado por Tales, foi para o Egito, onde permaneceu vrios anos. Segundo um relato, quando Egito foi conquistado pelos persas, em 525 a.C., 
 Pitgoras -- movido pelo desejo de aprender -- teria se oferecido para seguir voluntariamente com os cativos egpcios que foram levados 
<p>
 para a Babilnia. No  certo, porm, que nesse ano ele ainda estivesse no Egito. Mas, ainda que por outras vias, parece que 
 Pitgoras esteve na Babilnia, complementando sua formao cientfica. 
  De volta a Samos, encontrou uma situao poltica desfavorvel a seus projetos intelectuais. Por isso, emigrou para a colnia grega de Crotona, no sul da Itlia, onde fundou uma escola (escola pitagrica) que teria grande influncia no desenvolvimento da Filosofia e da Cincia, em especial da Matemtica. Uma das caractersticas da escola era a tradio oral: os ensinamentos eram passados verbalmente apenas. Alm disso, as realizaes da escola costumavam ser atribudas ao fundador. 
  Por volta do ano 500 a.C., quando estava no auge, a escola foi fechada, sob a acusao de apoiar a aristocracia, contrria 
<p>
 ao governo. Pitgoras refugiou-se na cidade de Metaponto, outra colnia grega no sul da Itlia, onde ficou at sua morte, em 497 a.C. A escola, porm, sobreviveu por cerca de dois sculos, com seus membros dispersos pelo mundo grego. 
  Para a escola pitagrica, o saber por excelncia era o saber matemtico. Seus membros acreditavam que "o conhecimento  a maior das purificaes". Assim, no  de estranhar que nessa escola tenha comeado o cultivo da Matemtica pela prpria Matemtica, ou seja, seu estudo sem visar aplicaes prticas. Paralelamente, os pitagricos iniciaram a organizao da Matemtica -- em particular da Geometria -- por meio de teoremas e suas justificativas. A julgar por alguns relatos histricos, deve-se a Pitgoras (ou 
<p>
talvez a algum membro de sua escola) a preimeira demonstrao do teorema de Pitgoras (da o nome), hoje comumente enunciado assim:
  *O quadrado da hipotenusa de um tringulo retngulo  igual  soma dos quadrados dos catetos.* 
  A suposta demonstrao de 
 Pitgoras  desconhecida, mas se acredita que tenha sido feita por comparao de reas, como a que apresentamos a seguir, ilustrada pelas figuras 1 e 2 _`[no representadas_`].
  Do quadrado maior (de lado a+b) da figura 1, retiramos os quatro tringulos retngulos congruentes de catetos *a* e *b*. O que resta  um quadrado de lado *c*. Do quadrado da figura 2, retiramos, tambm, os quatro tringulos retngulos de catetos *a* e *b*. Restam dois quadrados de reas a2 e b2. Como as fi-
<p>
 guras resultantes das retiradas dos tringulos tm mesma rea, ento: 
 c2=a2+b2 
<141>
  Centenas de demonstraes diferentes desse importante teorema j foram feitas depois de Pitgoras. O livro *The Pythagorean 
 Proposition* ("O teorema de Pitgoras"), de E. S. Loomis (1852-1940), em edio de 1940, traz cerca de 360 dessas demonstraes. Certamente, nenhuma delas usa menos palavras do que a do matemtico hindu Bhaskara (sculo XII), que se limitou a desenhar a figura 3 e a escrever junto a ela: "Veja!" Um pouco de lgebra explica o que Bhaskara via to facilmente. 
  Tomam-se quatro tringulos retngulos com hipotenusa *c* e catetos *a* e *b*, como na figura 3 _`[no representada_`]. A rea do quadrado maior, c2,  igual  
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 soma da rea do quadrado menor, `(b-a`)2, com a soma das reas dos quatro tringulos retngulos, cada um com rea `(ab~2`). Ou seja: 
 c2=`(b-a`)2+4.`(ab~2`)=b2+
  +a2 
  Outra interessante demonstrao  creditada a um ex-presidente americano, James A. Garfield (1831-1881), que desde seus tempos de estudante gostava de Matemtica. Uma curiosidade: ele morreu assassinado trs meses depois de tomar posse. Garfield teve a ideia dessa demonstrao quando ainda era membro do Congresso americano, em uma conversa sobre Matemtica com alguns colegas. A demonstrao baseia-se no fato de que, na figura 4 _`[no representada_`], a rea do trapzio  igual  soma das reas dos trs tringulos em que est decomposto. 
 ?a+b*~2`(a+b`)=ab~2+ab~2+
  +c2~2
 `(a+b`)2=2ab+c2
<p>
 a2+2ab+b2=2ab+c2
 a2+b2=c2
  Assim, cabe a pergunta:  possvel descobrir outras demonstraes do teorema de Pitgoras, diferentes das do livro de Loomis? 
 Pode parecer surpreendente, mas o prprio autor afirma que sim. Certamente, muitas j foram descobertas de 1940 para c. 

Explorando a leitura 

<R+>
<F->
1. Sabe-se que, se *a*, *b* e *c* so trs nmeros reais positivos tais que a2+b2=c2, ento um tringulo cujos lados medem *a*, *b* e *c*  retngulo, sendo *c* sua hipotenusa. Trata-se do recproco do teorema de Pitgoras, o qual  verdadeiro. Com essa informao, verifique se so retngulos os tringulos de lados: 
a) 32, 65, 97 
b) 90, 56, 106 
c) 10, 13, 19 
d) 7, 24, 25 
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2. Na plaqueta de argila referida no incio do texto,  calculado o raio de um crculo circunscrito a um tringulo issceles de lados 50, 50 e 60. O valor 31#be~60, encontrado pelo escriba para o raio,  correto? Por qu? 
3. Justifique matematicamente o fato de o tringulo no sombreado da figura 4 _`[no representada_`] ser retngulo. 
4. Sabe-se que os arquitetos do Egito antigo usavam um tringulo cujos lados mediam 3, 4 e 5 unidades para levantar a vertical num ponto. De fato, nesse caso o ngulo formado pelos lados que medem 3 unidades e 4 unidades  reto. Esse fato, por si s,  garantia de que eles conheciam o teorema de 
  Pitgoras? Por qu? 
<p>
5. Se as medidas dos catetos de um tringulo retngulo so nmeros pares, pode a medida da hipotenusa ser um nmero mpar? Por qu? 
<F+>
<R->

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Fim da Terceira Parte